Правильный ответ:
Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ?B = 30° находим, что PE = \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Так как OA = R и AP =1, получаем:
\(OP = \sqrt{R^2-1}\),
следовательно, \(OE = \sqrt{R^2-1} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ?E = 60°, находим:
\(R = OQ = \frac{\sqrt{3}}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{R^2-1} + 1\).
В результате получаем уравнение:
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{R^2-1} = R - 1\)
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение
\(R^2 - 8R + 7 = 0\),
решая которое находим два корня: R₁ = 1, R₂ = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.