Правильный ответ:
1. Неравенство \(4^{x} \leq 9 \cdot 2^{x} + 22\) запишем в виде \(\left(2^x\right)^2 - 9\cdot2^x - 22 \leq 0\).
Относительно \(t = 2^x\) неравенство имеет вид: \(t^2 - 9t - 22 \leq 0\),
откуда получаем: \((t + 2)(t - 11)\leq0, -2 \leq t \leq 11\).
Значит, \(-2 \leq 2^x \leq 11\), \(x = \log_{2}11\).
2. Второе неравенство системы определено при
\(\left\{ \begin{eqnarray} (x+1)(x-2) > 0, \\ \frac{x+1}{x-2} > 0, \\ \end{eqnarray}\right.\),
то есть при \(x < -1\) и \(x > 2\).
При допустимых значениях переменной получаем:
\(\log_{3}(x^2-x-2) \leq 1 + \log_{3}(x+1)(x-2)) - \log_{3}\frac{x+1}{x-2} \leq 1\),
\(\log_{3}(x-2)^2 \leq 1\), \((x - 2)^2 \leq 3\), \(2 - \sqrt{3} \leq x \leq 2 + \sqrt{3}\).
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: \(2 < x \leq 2 + \sqrt{3}\).
3. Сравниваем \(\log_{2}11\) и \(2+\sqrt{3}\). Так как \(\sqrt{3} > \sqrt{2,25} = 1,5\), то \(2+\sqrt{3} > 3,5 = \log_{2}(8 \cdot \sqrt{2}) > \log_{2}(8 \cdot 1,4) = \log_{2}(11,2) > \log_{2}11\). следовательно и \(\log_{2}11 < 2 + \sqrt{3}\).
Ответ: \((2; \log_{2}11]\).