Правильный ответ:
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k - 8l + 0m = -3(k+l+m).
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k+l+m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k+l+m < 48 , поэтому k + l + m = 44.
Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4k - 8l = -3(k+l+m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ? 0 , получаем, что 5l ? 7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в_оценка) Подставим k+l+m = 44 в правую часть равенства 4k - 8l = -3(k+l+m): 4k - 8l = -132, откуда k = 2l - 33. Так как k+l ? 44, получаем: 3l - 33 ? 44, 3l ? 77, l ? 25, k = 2l - 33 ? 17; то есть положительных чисел не более 17.
в_пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число ?8 и два раза написан 0. Тогда \(\frac{4 \cdot 17 - 8 \cdot 25}{44} = \frac{68-200}{44} = -3\),
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.