Статьи
Системы счисления: Первое знакомство
Дата публикации: 2012-08-28 21:14:00Темы: ЕГЭ по информатике, Часть А, Знания о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера
Введение
Во-первых, нужно понимать, что вся информация представляется в памяти компьютера в виде нулей и единичек - в двоичной системе счисления. Мы привыкли считать в десятичной системе счисления - где присутствуют цифры с 0 до 9 (всего 10 цифр - отсюда "десятичная"). По аналогии - в двочиной системе счисления есть только 2 цифры - это 0 и 1. Так же, например, в восьмеричной системе счисления есть цифры с 0 до 7 (всего 8 цифр).
В основном встречаются двоичная, троичная, четверичная, пятиричная, шестиричная, семиричная, восьмеричная, девятиричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Для шестнадцатеричной системы счисления после цифр (0..9) идут первые буквы английского алфавита (A,B,C,D,E,F).
Основные правила
Существуют 2 основных правила для работы с числами в разных системах счисления:
1. Правило перевода из любой системы в десятичную,
2. Правило перевода из десятичной в любую.
Эти правила мы сейчас разберем эти правило и вам их необходимо будет выучить, так как на ЕГЭ они очень часто встречаются. Позже мы разберем ещё пару трюков для частых переводов из одной в другую систем счислений.
Правило перевода из любой системы счисления в десятичную
Для перевода числа в десятичную систему счисления из системы счисления с другим основанием каждый коэффициент переводимого числа умножается на основание системы в степени соответствующей этому коэффициенту и полученные результаты складываются.
С первого раза довольно трудно усвоить, поэтому разберем примеры:
Перевести число 10010110112 в десятичную систему счисления.
Цифра 2 в нижнем регистре указывает на систему счисления. В данном случае - двоичная. Другими словами, необходимо перевести двоичное число в десятичную систему счисления.
10010110112 = 1*29+0*28+0*27+1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+1*21+1*20 = 512 + 64 + 16 + 8 + 2 = 74610 - ответ: 746.
Перевести число 3478 в десятичную систему счисления.
3478 = 3*83 + 4*82 + 7*81 + 7*80 = 1536 + 256 + 56 + 7 = 185510 - ответ: 1855.
Правило перевода из десятичной системы счисления в любую
Для перевода числа в десятичную систему счисления из системы счисления с другим основанием каждый коэффициент переводимого числа умножается на основание системы в степени соответствующей этому коэффициенту и полученные результаты складываются.
И снова примеры:
Перевести число 14510 в систему счисления с основанием 5.
Отсюда ответ: 14510 = 10405.
Перевести число 18110 в восьмеричную систему счисления.
Отсюда ответ: 18110 = 2658.
Перевести число 62210 в шестнадцатеричную систему счисления.
Т.к. цифры с номером 14 не существует, она заменяется буквой согласно таблице 1:
Поэтому ответ будет следующим: 62210 = 26E16.
Правила перевода для частных случаев
Для систем счисления с основаниями 2, 8 и 16 существуют специальные правила, ускоряющие перевод из одной системы счисления в другую.
Правило перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно
Для совершения таких переводов вводится понятие тетрад – это группа из четырех цифр, на которое разбивается двоичное число, которое нужно перевести. Например, если число 11001001101010112 перевести в двоичную систему счисления, то получится 4 тетрады: 1100, 1001, 1010, 1011. В таблице 1 (см. выше) смотрим соответствие этих тетрад:
И записываем ответ таким образом:
Примечание: Разбивание на тетрады происходит слева направо и если количество цифр в двоичном числе не кратно четырем, то слева дописываются нули. Пример: число 110010110 записывается как 000110010110 и разбивается на три тетрады: 0001, 1001 и 0110.
Верно и обратный алгоритм. Т.е. если мы хотим перевести шестнадцатеричное число в двоичное, то необходимо каждую цифру/букву преобразовать в соответствующую тетраду. Пример: AC2D16 = 10101100001011012.
Правило перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно
Аналогично тетрадам, для быстрых переводов из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно вводится понятие триад – это группа из трех цифр. И правило здесь полностью аналогично предыдущему. К примеру, переведем то же самое число 11001001101010112 в восьмеричную систему счисления:
1. Разобьем на триады: 001, 100, 100, 110, 101, 011.
2. Найдем соответствие каждой триаде в таблице: 001 – 1, 100 – 4, 110 – 6, 101 – 5, 011 – 3.
3. Запишем ответ: 11001001101010112 = 146538.
Также верен и обратный алгоритм.
Полезные советы
Считаю ознакомление с позиционными системами счисления и правилами перевода на этом оконченным. В основном, конечно, в ЕГЭ встречаются системы счисления с основанием 2, 8 и 16. Поэтому приведенную таблицу рекомендуется выучить, но если вы будете много решать примеры, то, 100%, что она у вас и так отложиться в памяти.
Если вы хотите узнать по этой теме больше информации, то можете прочитать следующие статьи по ссылкам:
· Википедия: Системы счисления.
· Викиучебник: Системы счисления.
Кроме основных правил существуют ещё небольшие уловки, которые помогают решать специфические задачи. О них я напишу скоро в другой статье под названием «Системы счисления: Продвинутый уровень».
Надеюсь, что тебе, читателю эта статья помогла, и ты узнал что-либо новое.
Если тебе ещё предстоит сдать ЕГЭ, то желаю тебе получить МАКСИМУМ баллов,
aka Hack.Nick.
Похожие статьи: Шкала для переводов первичных баллов в 100-бальную шкалу по информатике, Системы счисления (часть 2): Продвинутый уровень, Системы счисления (часть 2): Продвинутый уровень, Системы счисления (часть 2): Продвинутый уровень