Введение

В этой статье я постараюсь описать вам некоторые закономерности, которые помогут вам быстрее решать определенные задания, связанные с двоичной системой счисления в ЕГЭ по информатике. Кроме того, мы разберем несколько типичных заданий, встречающихся в ЕГЭ.

Что нужно знать

В прошлой статье («Системы счисления: Первое знакомство») я познакомил вас с основными правилами работы с системами счисления, а также правилами «быстрого» перевода. В случае, если вы не читали предыдущую статью, то вам сюда: /article/41.

Закономерности в двоичной системе счисления

1. Числа, в двоичной системе счисления, которые делятся на 2ⁿ, оканчиваются на n нулей.

Пример 1: Четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, нечетное – на 1.

Пример 2: Число, делящееся на 8 (2³), оканчивается на «000» (три нуля).

Следствие 1: Числа вида 2ⁿ записываются как 1 (единица) и n нулей. (Пример: 128₁₀=10000000₂)

Следствие 2: Числа вида 2ⁿ-1 записываются как n единиц. (Пример: 63₁₀ = 111111₂)

Следствие 3: Запись числа 2*N – это запись числа N с нулем в конце. (Пример: N=52₁₀=11100₂ => 2*N=104₁₀=111000₂)

2. Число k в двоичной системе счисления содержит ровно n цифр, если оно находится в промежутке от 2^n-1 до 2ⁿ (2^n-1 <= k <= 2ⁿ).

Пример 1: Число 1100111₂ содержит 7 цифр, следовательно его десятичное значение находится в пределах от 64 (2⁶) до 128 (2⁷).

3. Отрицательные числа записываются в виде дополнительного кода.

Алгоритм перевода отрицательного числа (-x, x>0) в дополнительный код:

1.      Вычесть из числа единицу (x = x – 1).

2.      Перевести получившееся число в двоичную систему счисления.

3.      Инвертировать биты – это означает, что каждую цифру «1» в числе нужно заменить на «0», а «0» соответственно на «1».

Разбор заданий

1. Дано: a=70₁₀, b=40₁₆. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству b<C<a?

1) 1000000₂            2)  1000110₂            3)  1000101₂     4) 1000111₂

Решение: Переведем числа a и b в двоичную систему счисления: a = 70₁₀ = 64₁₀ + 4₁₀ + 2₁₀ = 1000000₂ + 100₂ + 10₂ = 1000110₂ (пользуясь следствием 1 первой закономерности), b = 40₁₆ = 1000000₂ (пользуюясь «быстрым» переводом при помощи тетрад). Теперь сравним каждый из возможных вариантов и выберем нужный. Если C=1000000₂, то C=b. Если C=1000110₂, то C=a. Если C=1000101₂, то b < C < a – то, что нужно, следовательно ответ: 3.

2. Как представлено число 83₁₀ в двоичной системе счисления?

1)  1001011₂     2) 1100101₂       3) 1010011₂      4) 101001₂

Решение: Здесь достаточно просто перевести число. Можно просто столбиком, как я описывал в предыдущей статье, но проще конечно пользуясь следствием 1: 83₁₀ = 64₁₀ + 16₁₀ + 2₁₀ + 1₁₀ = 1000000₂ + 10000₂ + 10₂ + 1₂ = 1010011₂. Отсюда ответ: 3.

3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

            1)  7                   2) 5                    3) 6                   4) 4

Решение: По большому счету, здесь не обязательно даже переводить число, достаточно разложить на степени двойки и подсчитать количество слагаемых (следствие 1 вам в помощь). 173₁₀ = 128₁₀ + 32₁₀ + 8₁₀ + 4₁₀ + 1₁₀. Всего 5 слагаемых (128, 32, 8, 4 и 1), значит и единиц будет 5. Ответ: 2.

4. Как записывается число A87₁₆ в восьмеричной системе счисления?

1)  435₈             2) 1577₈             3) 5207₈                        4) 6400₈

Решение: Вместо того, чтобы идти напролом и переводить число в десятичную систему счисления, а из нее в восьмиричную предлагаю воспользоваться «быстрыми» переводами и перевести, пользуясь тетрадами в двоичную систему счисления, а из нее уже, пользуясь триадами в восьмиричную. Итак, A87₁₆ = 101010000111₂ = 5207₈. Ответ: 3.

5. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1            2)  2                                    3)  3        4) 4

Решение: Внутреннее представление числа – двоичная система счисления + допонительный код для отрицательных чисел. Следовательно нам нужно узнать, как же будет выглядеть число -128 в допонительном коде. Действуем по алгоритму: 1. 128-1 = 127, 2. 127₁₀ = 1111111₂ (по следствию 2). Так как отводится 1 байт (=8 бит) значит инвертировать нужно не 1111111, а 01111111. После инвертирования получается: 10000000₂ – двоичное представление числа (-128). Ответ: 1.

6. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?

1) 1                   2)  2                   3)  4                  4) 8

Решение: Значащие нули – дословно – нули, которые имеют значение. Ведь число 624 можно представить и в виде 0000000624 – значение то не изменится, то эти нули не значимые, значит считать их не нужно. 254₁₀ = 255₁₀ – 1₁₀ = 11111111₂ – 1₂ = 11111110₂. Здесь я использовал другой прием «быстрого» перевода: я представлял не в виде суммы, а в виде разности числа 255 (256-1 = 2⁸-1) и 1 (2⁰). Оба эти числа очень просто переводятся и в уме, благодаря следствию 2.

Заключение

Итак, в этих двух статьях мы рассмотрели основные правила для работы с системами счисления, правила «быстрого» перевода и основные типы задания А1.Считаю тему на этом закрытой. Если у вас есть предложения как улучшить эти статьи, или если вы считаете что данного материала не хватает для решения заданий ЕГЭ, связанных с системами счисления – пишите в комментариях к этой статье, буду рад услышать отзывы.

Также даю ссылку на первую статью с основами из этой серии, если кому интересно:

• Системы счисления: Первое знакомство

Надеюсь, что тебе, читателю эта статья помогла, и ты узнал что-либо новое.

Если тебе ещё предстоит сдать ЕГЭ, то желаю тебе получить МАКСИМУМ баллов,

,

aka Hack.Nick.